شرحدرسالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةالتيتساويالجذرالتربيعيللعدد-1(i²=-1)شرحدرسالأعدادالمركبة
خصائصالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدة.مثال:(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i
شرحدرسالأعدادالمركبة
الضرب:نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1مثال:(2+3i)(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=-4+7i
شرحدرسالأعدادالمركبة
القسمة:نقومبضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقاممثال:(3+4i)/(1+2i)=[(3+4i)(1-2i)]/[(1+2i)(1-2i)]=(3-6i+4i-8i²)/(1-4i²)=(11-2i)/5
شرحدرسالأعدادالمركبة
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهومعيارالعددالمركب(المسافةمنالأصلللنقطة)-θهيالزاويةالتييصنعهاالمتجهمعالمحورالحقيقيالموجب
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
- فيمعالجةالإشاراتالرقمية
- فيميكانيكاالكم
- فيالرسوماتالحاسوبيةوالتحريك
الخاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومنظامالأعدادوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزءالحقيقيوالتخيليوكيفيةالتعاملمعهمفيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
شرحدرسالأعدادالمركبةمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يمكنالتعبيرعنهابالصيغةالعامة:z=a+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1
شرحدرسالأعدادالمركبةخصائصالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمع/نطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.مثال:(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i
شرحدرسالأعدادالمركبةالضرب:نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1.مثال:(2+3i)(1-2i)=2(1)+2(-2i)+3i(1)+3i(-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i-6(-1)=8-i
شرحدرسالأعدادالمركبةالقسمة:نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقام.مثال:(3+4i)/(1-2i)=[(3+4i)(1+2i)]/[(1-2i)(1+2i)]=(3+6i+4i+8i²)/(1+4)=(-5+10i)/5=-1+2i
شرحدرسالأعدادالمركبة
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبz=a+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:z=r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)للعددالمركب:r=√(a²+b²)-θهيالزاوية(الوسيطة):θ=arctan(b/a)
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
- فيمعالجةالإشاراتوالتحليلالطيفي
- فيميكانيكاالكموفيزياءالموجات
- فيالرسوماتالحاسوبيةوالتحريك
الخاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومنظامالأعدادالحقيقيةوتقدمأداةرياضيةقويةلحلمعادلاتلايمكنحلهافينظامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزءالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتمثيلهاوتحليلهاهندسياًوجبرياً.
شرحدرسالأعدادالمركبة